기하학의 유명한 정리

1． 피타고라스 정리(Pythagorean Theorem)

2. 투영정리(유클리드 정리)

3. 삼각형의 세 정중선은 한 점에서 교차하며, 각 정중선은 이 점을 기준으로 2:1의 비율로 두 부분으로 나누어집니다.

4． 사각형의 두 변의 중심을 연결한 선은 두 대각선의 중심을 연결한 선과 한 점에서 교차합니다.

5. 육각형의 변의 중심을 간격을 두고 연결하여 만든 두 삼각형의 중심은 일치합니다.

6. 삼각형의 각 변의 수직이등분선은 한 점에서 만납니다.

7． 삼각형의 세 고도는 한 지점에서 교차합니다.

8. 삼각형 ABC의 외심을 O, 수직 중심을 H라고 하고 O에서 변 BC까지 수직선을 그리고 수직 발을 L이라고 하면 AH=2OL

9입니다. 삼각형의 외심, 수직중심, 무게중심은 모두 같은 직선(오일러선) 위에 있습니다.

10． (9점원 또는 오일러원 또는 포이어바흐원) 삼각형에서 세 변의 중심, 각 꼭지점에서 반대편으로 그은 수직선의 수직발, 수직중심과 수직중심을 연결하는 선의 중점 각 꼭지점은 동일한 원에 있는 9개의 점입니다.

11. 오일러의 정리: 외심, 무게중심, 구점원의 중심, 삼각형의 수직중심이 차례로 같은 직선(오일러선) 위에 위치한다

12. 쿨리지의 대우위 정리: (사각형에 내접하는 9개의 점 원)

원의 원주에는 4개의 점이 있습니다. 세 점 중 하나를 지나 삼각형을 그리면 원의 중심이 됩니다. 이 4개의 삼각형의 9점 원은 모두 같은 원주 위에 있으며, 이 4개의 9점 원의 중심을 지나는 원을 사각형에 내접하는 9점 원이라고 부릅니다.

13． (내부 심장) 삼각형의 세 내각 이등분선은 한 점에서 교차합니다. 내접원의 반지름 공식: r=sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s), s는 둘레의 절반입니다. 삼각형

14. (동심) 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 꼭지점에 있는 외각의 이등분선은 한 점에서 교차합니다

15. 중심선 정리: (Babs의 정리) 삼각형 ABC의 변 BC의 중점이 P라고 가정하면 AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)

16입니다. 스튜어트의 정리: P는 삼각형 ABC의 변 BC를 m:n으로 나누면 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17이 됩니다. 브라마굽타 정리: 내접사변형 ABCD의 대각선이 서로 수직일 때 AB의 중점 M과 대각선의 교점 E를 연결하는 직선은 CD에 수직입니다

18. : 2로 고정점 A와 B 사이의 거리비가 고정비 m:n(값이 1이 아님)인 점 P는 선분 AB를 m:n으로 나누는 고정원 위에 위치합니다. C와 외부 분할점 D는 직경의 두 끝점입니다. 프톨레마이오스의 정리: 사변형 ABCD가 원에 새겨져 있고 AB×CD+AD×BC=AC×BD

20이라고 가정합니다. 나폴레옹의 정리: 임의의 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB를 밑변으로 취하고 밑각이 각각 30도인 이등변삼각형 △BDC, △CEA, △AFB를 그리면 △DEF는 정삼각형이 됩니다.

21． 에르코스 정리 1: △ABC와 △DEF가 모두 정삼각형이면 선분 AD, BE, CF의 중심이 이루는 삼각형도 정삼각형이다.

22. 에르코스 정리 2: △ABC, △DEF, △GHI가 모두 정삼각형이라면, 삼각형 △ADG, △BEH, △CFI의 무게중심이 이루는 삼각형은 정삼각형이다.

23． 메넬라오스의 정리: △ABC의 세 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선과 그 어떤 꼭지점도 통과하지 않는 직선의 교점을 각각 P, Q, R이라고 하면 BPPC × CQQA×ARRB=1

24. 메넬라오스 정리의 역: (생략)

25. 메넬라우스 정리의 적용 정리 1: △ABC의 ∠A의 이등분선이 Q에서 변 CA와 교차하고, ∠C의 이등분선이 R에서 변 AB와 교차하고, ∠B의 이등분선이 Q에서 변 CA와 교차하고, P, Q에서 교차한다고 가정합니다. , R 3점 ***선.

26. 메넬라오스의 정리 적용 정리 2: 임의의 △ABC의 세 꼭짓점 A, B, C를 통해 외접원의 접선을 그리고 점 P, Q, 및 점에서 BC, CA, AB의 연장선과 교차합니다. R 다음으로 각각 P, Q, R의 3점 ***선입니다.

27. 세바의 정리: △ABC의 세 꼭짓점 A, B, C가 삼각형의 변이나 그 연장선에 있지 않은 점 S로 이루어진 세 직선에 연결되어 있고, 변 BC, CA와 연결되어 있다고 가정 , AB 또는 그 확장자는 각각 P, Q, R 지점에서 교차한 다음 BPPC×CQQA×ARRB()=1입니다.

28. Ceva 정리의 응용정리: △ABC의 변 BC에 평행한 직선과 두 변 AB, AC의 교점이 각각 D와 E이고, BE와 CD가 S에서 교차한다고 가정하면 AS는 중심을 통과해야 합니다. BC 쪽 M

29． Ceva 정리의 역: (생략)

30. Ceva 정리의 역 적용 정리 1: 삼각형의 세 중심선은 한 점에서 교차합니다

31. Ceva 정리의 역정리 적용 정리 2: △ABC의 내접원과 변 BC, CA, AB가 각각 점 R, S, T에 접하고 AR, BS, CT가 한 점에서 교차한다고 가정합니다. .

32. 사이먼슨의 정리: △ABC의 외접원 위의 임의의 점 P에서 세 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선에 수직인 선을 그립니다. 각각의 수직 발은 D, E, R이고 그 다음에는 D, E, R입니다. * **선, (이 직선을 시모어 파인 라인이라고 함)

33. 사이먼슨 정리의 역: (생략)

34. 슈타이너의 정리: △ABC의 수직 중심이 H이고, 그 외접원의 임의의 점 P가 이때, △ABC의 점 P를 중심으로 한 세이모슨 선이 선분 PH의 중심을 통과한다고 가정합니다.

35. 슈타이너 정리의 적용정리: 변 BC, CA, AB를 기준으로 △ABC의 외접원 위의 점 P와 △ABC의 수직 중심 H의 대칭점은 동일한 직선(세이모슨 선에 평행) 위에 있습니다. ). 이 직선을 △ABC에 대한 점 P의 거울상선이라 한다.

36. Bolanger와 Tengxia 정리: △ABC의 외접원 위 세 점이 P, Q, R이라고 가정합니다. 그러면 △ABC에 대해 P, Q, R이 한 점에서 교차하는 필요충분조건은 다음과 같습니다. +아크 BQ+아크 CR= 0(mod2∏).

37． Polenger와 Teng의 정리의 추론 1: P, Q, R이 △ABC의 외접원 위의 세 점이라고 가정합니다. △ABC에 대한 P, Q, R의 세이모슨 선이 한 점에서 교차하면 A, B가 됩니다. , 세 점 C에서 △PQR에 대한 세이모슨 선은 이전과 같은 점에서 교차합니다

38. Polanger와 Tengxia 정리의 정리 2: 정리 1에서 세 개의 Seymourson 선의 교차점은 여섯 점 A, B, C, P, Q, R 중 임의의 세 점에 의해 형성된 삼각형의 수직이고 다른 세 점. 삼각형의 직교 중심을 연결하는 선분의 ​​중간점입니다.

39. Polenger와 Teng의 정리의 따름 3: △ABC의 외접원 위의 점 P에서 △ABC에 대한 시모어의 느슨한 선을 조사합니다. QR이 이 시모어의 느슨한 선과 외접 볼펜 현에 수직인 경우, 3 P, Q, R 지점의 △ABC에 대한 Seymourson 선은 한 지점에서 교차합니다

40. Polenger와 Teng의 정리의 따름 4: △ABC의 꼭지점에서 변 BC, CA, AB까지 수직선을 그립니다. 수직 발을 각각 D, E, F로 하고 변 BC의 중간점을 다음과 같이 둡니다. CA, AB는 각각 L, M, N이고, 6개의 점 D, E, F, L, M, N은 같은 원 위에 있습니다. 이때 L, M, N 점은 한 점에서 교차합니다. Seymourson 라인에서 △ABC에 대해.

41. 시모어 파인라인에 관한 정리 1: △ABC의 외접원의 두 끝점 P와 Q는 삼각형의 시모어 파인라인에 대해 서로 수직이고, 그 교점은 9점원 상에 있다.

42． 시모어의 소나무선에 관한 정리 2(애닝의 정리): 원 위에는 4개의 점이 있습니다. 임의의 3개의 점으로 삼각형을 그리고 나머지 점에서 삼각형 주위에 시모어의 소나무선을 그립니다. 작은.

43. 카르노의 정리: △ABC의 외접원의 점 P를 지나 △ABC의 세 변 BC, CA, AB와 같은 방향으로 같은 각도를 이루는 직선 PD, PE, PF가 각각 교점이다. 세 변은 D, E, F, D, E, F 3점 *** 선입니다.

44． 오벨의 정리: 세 개의 평행한 직선이 △ABC의 세 꼭지점을 지나며, △ABC의 외접원과의 교점이 각각 L, M, N이라고 가정하고, △ABC의 외접원 위에 점 P를 취합니다. PL, PM, PN과 △ABC의 세 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선의 교점은 각각 D, E, F이고 D, E, F의 세 점은 직선입니다

45. 청공정리: P와 Q가 △ABC의 외접원 위의 A, B, C와 다른 두 점이라고 가정합니다. 점 P의 세 변 BC, CA, AB에 대한 대칭점은 U, V, W입니다. 이때 QU, QV, QW와 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선의 교차점은 각각 D, E, F이고 세 점 D, E, F는 직선입니다

46. 그는 다음과 같은 정리를 취했습니다. P와 Q는 △ABC의 외접원에 대한 한 쌍의 역점이고, 이때 세 변 BC, CA, AB에 대한 점 P의 대칭점은 각각 U, V, W라고 가정합니다. , QU, QV인 경우 , QW와 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선의 교차점이 각각 ED, E 및 F이면 세 점 D, E 및 F가 선을 형성합니다. (반점: P와 Q는 각각 원 O와 그 연장선의 반경 OC의 두 점입니다. OC2=OQ×OP이면 두 점 P와 Q는 원에 대해 서로 반대점이라고 합니다. 아)

47. Langcourt의 정리: 같은 원 위에 14개의 점 A1B1C1D가 있습니다. 임의의 세 점을 사용하여 원의 둘레에 점 P를 선택하고 점 P에서 네 개의 삼각형의 시모어 소나무 선을 그립니다. P에서 4개의 시모어 라인까지 느슨한 실이 수직 라인으로 연결되면 4개의 수직 발은 동일한 직선에 있게 됩니다.

48. 9점원 정리: 삼각형 세 변의 중점, 세 높이의 수직 발, 세 오일러 점 [삼각형의 꼭지점과 수직 중심을 연결하여 얻은 세 선분의 중점] 9점 *** 원 [보통 이 원을 9점 원[9점 원]이라고 함] 또는 오일러 원, 포이어바흐 원이라고 합니다.

49． 원 위에는 n개의 점이 있고, n-1개의 점의 무게 중심에서 원의 다른 점에 있는 접선까지 그은 수직선이 한 점에서 교차합니다.

50． 칸토어의 정리 1: 원 위에 n개의 점이 있고, n-2개의 점의 무게 중심에서 나머지 두 점을 연결하는 선까지 수직선을 그은 것이 첫 번째 점입니다.

51. 칸토어의 정리 2: 원 위에 네 개의 점 A, B, C, D와 두 개의 점 M과 N이 있고, 점 M과 N은 네 개의 삼각형 △BCD, △에 연결됩니다. CDA, △DAB와 △ABC의 두 사이먼 파인의 교차점은 모두 같은 직선 상에 있다. 이 직선을 사각형 ABCD 주위의 두 점 M과 N 사이의 칸토어선(Cantor line)이라고 합니다.

52. 칸토어의 정리 3: 원 위에 네 개의 점 A, B, C, D와 세 개의 점 M, N, L이 있고, 사각형 ABCD 주위에 두 점 M과 N이 있다는 것이 칸토어의 정리입니다. 두 점 L과 N에서 사변형 ABCD 주위의 칸토어 선인 Er 선과 두 점 M과 L에서 사변형 ABCD 주위의 칸토어 선은 한 점에서 교차합니다. 이 점을 사각형 ABCD 주위의 세 점 M, N, L의 칸토어 점(Cantor point)이라고 합니다.

53. 칸토어의 정리 4: 원 위에 다섯 개의 점 A, B, C, D, E와 세 개의 점 M, N, L이 있고, 세 점 M, N, L은 원에 관한 것입니다. 사각형 BCDE , CDEA, DEAB 및 EABC의 각 칸토어 점은 직선 위에 있습니다. 이 직선을 오각형 A, B, C, D, E 주위의 세 점 M, N, L 사이를 잇는 칸토어선(Cantor line)이라고 합니다.

54. 포이어바흐의 정리: 삼각형의 9점 원은 내접원과 외접원에 접합니다.

55. 몰리의 정리: 삼각형의 세 내각을 세 개의 동일한 부분으로 나누고 특정 변에 가까운 두 개의 삼등분면이 만나 교점을 얻으면 이러한 세 개의 교점은 정변을 형성할 수 있습니다. 삼각형. 이 삼각형은 흔히 몰리의 정삼각형이라고 불립니다.

56. 뉴턴의 정리 1: 사각형의 반대쪽 두 변의 연장선의 교차점으로 연결된 선분의 중점과 두 대각선의 중점은 ***선 3개입니다. 이 직선을 사각형의 뉴턴선이라고 합니다.

57. 뉴턴의 정리 2: 원으로 둘러싸인 사각형의 두 대각선의 중점, 원의 중심, 세 점 선.

58. 데자르그의 정리 1: 평면 위에 두 개의 삼각형 △ABC와 △DEF가 있으며, 해당 정점(A와 D, B와 E, C와 F)을 연결하는 선이 At에서 교차한다고 가정합니다. 이 점에서 해당 변이나 연장선이 교차하면 이 세 교차점은 *선입니다.

59. 데자르그의 정리 2: 서로 다른 평면에 두 개의 삼각형 △abc와 △def가 있고, 해당 꼭지점(a와 d, b와 e, c와 f)을 연결하는 선이 하나에서 교차한다고 가정합니다. 이때 해당 변이나 그 연장선이 교차하면 이 세 개의 교차점은 *선입니다.

60. 브라이언슨의 정리: 원 주위에 외접하는 육각형 ABCDEF의 반대 꼭지점 A와 D, B와 E, C와 F를 연결하면 이 세 선은 점입니다.

61. 파스칼의 정리: 육각형 ABCDEF에 내접하는 원의 반대 변 AB와 DE, BC와 EF, CD와 FA(또는 연장선)의 교차점은 ***입니다.

62. 진 지우샤오(Qin Jiushao) - 헬렌의 공식: 삼각형의 세 변(a, b, c)이 주어지면 삼각형 S의 면적을 계산하세요.

S는 제곱근입니다: p(p-a)(p-b)( p-c) p는

63의 절반인 삼각형의 둘레입니다. 파스칼의 정리: 축퇴되지 않은 2차 곡선에 내접하는 단순한 육각형의 반대쪽 세 쌍의 교차점을 파스칼의 선이라고 합니다.

64. 각의 이등분선에 있는 점은 각의 양쪽에서 같은 거리에 있습니다.

각의 양쪽에서 등거리에 있는 점은 각의 이등분선에 있습니다.

p>

65. 수직 이등분선의 한 점과 그것이 위치한 선분의 두 끝점 사이의 거리는 같습니다.

수직 이등분선의 점은 수직 이등분선의 점과 같은 거리에 있습니다. 선분의 두 끝점은 선분의 수직 이등분선에 있습니다.

66 직각삼각형의 두 직각 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다.

직각 삼각형에서는 두 개의 예각이 서로 보완적입니다.

직각 삼각형에서 빗변의 중심선은 빗변의 절반과 같습니다(즉, 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중심에 있고 외접원의 반지름은 R=C/2)

직각삼각형의 두 직각 변의 곱은 빗변과 빗변의 높이의 곱, 즉 ab=ch와 같습니다.

직각삼각형의 세로 중심은 직각의 꼭지점에 위치합니다.

직각삼각형의 내접원의 반지름은 두 우변의 합에서 빗변을 뺀 차이의 절반, 즉 r=a+b-c/2입니다.

직각 삼각형에서 빗변 위의 높이는 빗변의 두 직각 변의 사영 비율의 중앙값입니다.

직각 삼각형에서 각 직각 변은 빗변에 대한 직각 변의 투영과 빗변 사이의 비율의 중앙값입니다. 따라서 직각 삼각형의 직각 두 변의 제곱의 비율은 빗변에 대한 투영의 비율과 같습니다.

30°를 포함하는 직각삼각형의 세 변의 비율은 1:√3:2입니다.

30°를 포함하는 직각삼각형의 세 변의 비율은 1:√3:2입니다. 45° 각도는 1:1:√2