상호 소수란 무엇인가요?

소수의 개념

소위 소수, 즉 소수는 자신과 1 외에 다른 인자를 갖지 않는 양의 정수이다. 예를 들어 2, 3, 5, 7은 소수이지만 4, 6, 8, 9는 소수가 아닙니다. 이러한 관점에서 정수는 두 가지 유형으로 나눌 수 있는데, 하나는 소수라고 하고 다른 하나는 합성수라고 합니다. (어떤 사람들은 숫자 1을 소수라고 부르면 안 된다고 생각합니다.) 가우스의 유명한 "고유 분해 정리"는 모든 정수를 말합니다. 일련의 소수를 곱한 결과로 쓸 수 있습니다.

소수의 미스터리

소수의 분포는 불규칙하고 종종 당황스럽습니다. 예를 들어 101, 401, 601, 701은 모두 소수이지만 위와 아래의 301(7*43)과 901(17*53)은 합성수입니다.

누군가가 다음과 같은 계산을 했습니다: 1^2 1 41=43, 2^2 2 41=47, 3^2 3 41=53... 따라서 다음과 같은 공식이 있을 수 있습니다: 양수 숫자가 n이면 n^2 n 41의 값은 소수여야 합니다. 이 공식은 n=39까지 유효합니다. 그러나 n=40이면 40^2 40 41=1681=41*41이기 때문에 공식이 성립하지 않습니다.

소수의 성질

'17세기 프랑스의 가장 위대한 수학자'로 알려진 페르마도 소수의 성질을 연구했습니다. 그는 Fn=2^(2^n) 1이라고 가정하고 n이 각각 0, 1, 2, 3, 4와 같을 때 Fn은 각각 3, 5, 17, 257, 65537을 제공한다는 것을 발견했습니다. 소수. F5가 너무 크기 때문에(F5=4294967297) 추가 테스트 없이 직접 추측했습니다. 모든 자연수에 대해 Fn은 소수입니다. 그러나 F5에서 문제가 발생했습니다! 페르마가 죽은 지 67년 후, 25세의 스위스 수학자 오일러는 F5=4294967297=641*6700417은 소수가 아니라 합성수임을 증명했습니다.

더 흥미로운 점은 미래의 Fn 값에 대해 수학자들은 소수인 Fn 값을 발견한 적이 없으며 모두 합성수라는 점입니다. 현재로서는 제곱근이 크기 때문에 증명할 수 있는 것이 거의 없습니다. 이제 수학자들은 Fn의 최대값인 n=1495를 얻었습니다. 이는 무려 10^10584자리에 달하는 초천문수이다. 물론 아주 크긴 하지만 소수는 아니다. 소수와 페르마가 큰 농담을 했어요!

소수 가설

17세기 프랑스 수학자 메이슨이 다음과 같은 추측을 한 적이 있습니다. p가 일 때 2^p-1 대수 공식. 소수, 2^ p-1은 소수입니다. 그는 확인하고 계산했습니다. p=2, 3, 5, 7, 17, 19일 때 얻은 대수식의 값은 모두 소수입니다. 나중에 오일러는 p=31일 때 2^p-1이 임을 증명했습니다. 소수. p=2, 3, 5, 7일 때 Mp는 모두 소수이지만 M11=2047=23×89는 소수가 아니다.

메르센 숫자는 p=67, 127, 257 3개 남았습니다. 너무 크기 때문에 오랫동안 아무도 인증하지 않았습니다. 메이슨이 죽은 지 250년 후, 미국 수학자 콜러(Kohler)는 2^67-1=193707721*761838257287이 합성수임을 증명했습니다. 이것은 아홉 번째 메르센 수입니다. 20세기에 사람들은 10번째 메르센수가 소수이고, 11번째 메르센수가 합성수라는 사실을 잇달아 증명했습니다. 소수가 너무 무질서하게 배열되어 있어 사람들이 소수의 규칙을 찾기도 어렵습니다.

소수표의 소수

이제 수학자들이 찾아낸 가장 큰 메르센 수는 9808357자리 숫자인 2^32582657-1입니다. 수학은 매우 큰 소수를 찾을 수 있지만 여전히 소수의 규칙을 따를 수는 없습니다.