오일러의 정리란 무엇인가요?
오일러의 이름을 딴 많은 상수, 공식 및 정리는 수학과 다양한 분야에서 볼 수 있습니다. 정수론에서 오일러 정리(페르마-오일러 정리 또는 오일러 함수 정리라고도 함)는 합동에 관한 속성입니다. 스위스 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 이름을 딴 오일러의 정리는 수학계에서 가장 아름다운 정리 중 하나로 여겨집니다. 오일러의 정리는 실제로 페르마의 작은 정리를 일반화한 것입니다. 또한, 평면 기하학에는 오일러의 정리와 다면체의 오일러 정리(볼록 다면체에서는 꼭지점 수 - 모서리 수 + 면 수 = 2)가 있습니다. 서구 경제학의 오일러 정리는 생산량 배분의 순소진 정리라고도 합니다. 이는 완전 경쟁 조건에서 장기적으로 규모에 대한 수확이 변하지 않는다고 가정하면 모든 제품이 다양한 요소에 할당될 만큼 충분하다는 의미입니다. . 오일러의 공식도 있습니다.
내용
정수론에서 페르마-오일러의 정리라고도 알려진 오일러의 정리는 합동에 관한 속성입니다. 오일러의 정리는 n과 a가 양의 정수이고 n과 a가 서로 소수이면 다음과 같다는 것을 보여줍니다.
오일러의 정리
접기 증명
변환 1 The n에 상대적으로 소수인 ~n의 숫자는 x1, x2...xΦ(n) 순서로 정렬됩니다(분명히 Φ(n) 숫자가 있습니다)
우리는 다음 숫자를 고려합니다:
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3...mΦ(n)=a*xΦ(n)
1) 이 숫자 중 2개 없음 mS=mR(mod n)이 있는 경우(여기서 mS가 더 크다고 가정) 다음이 있기 때문입니다.
mS-mR=a(xS-xR)= qn, 즉, n은 a(xS-xR)를 나눌 수 있습니다. 그러나 a와 n은 상대적으로 소수이고, a와 n의 최대공약수는 1이며, xS-xR 2) n을 나눈 후 이 숫자의 나머지는 n과 상대적으로 소수입니다. 왜냐하면 나머지와 n이 공통 인수 r을 갖는 경우 a*xi=pn+qr=r(...) , a*xi 및 n은 서로 소수가 아니므로 불가능합니다. 그런 다음 이 숫자를 n으로 나눈 나머지는 모두 x1, x2, x3...xΦ(n)에 있습니다. 왜냐하면 이 숫자는 1부터 n까지의 모든 숫자로서 n에 상대적으로 소수이고 나머지는 n보다 작기 때문입니다. 1)과 2)에서 볼 수 있듯이 숫자 m1, m2, m3...mΦ(n)(순서가 재배열된 경우)은 x1, x2, x3과 일치해야 합니다. ..xΦ(n). 그래서 우리는 다음과 같은 결과를 얻습니다: m1*m2*m3… p>또는 a^[ψ(n )]*(x1*x2*x3......xψ(n))DFx1*x2*x3......xψ(n) 또는 편의상: K{ a^[ψ(n)]- 1}=0 ( mod n ) 여기서 K=x1*x2*x3……xψ(n)입니다. K{a^[ψ(n)]-1}이 n으로 나누어지는 것을 볼 수 있다. 그러나 K의 인수 x1, x2...는 모두 n과 상대적으로 소수이므로 K와 n은 상대적으로 소수입니다. 그러면 a^[ψ(n)]-1은 n으로 나누어야 합니다. 즉, a^[ψ(n)]-1=0 (mod n), 즉 a^[ψ(n)]=1입니다. (mod n) , 인증됨. 페르마의 작은 정리: a가 소수 p로 나누어지지 않는 양의 정수이면 a^(p-1) ‚ 1 (mod p) 이 정리를 증명하는 것은 매우 간단합니다. p는 소수이므로 오일러의 정리를 대입하여 증명할 수 있습니다. 추론: 임의의 양의 정수 a에 대해 a^p ñ a (mod p), 왜냐하면 a를 p로 나눌 수 있을 때 결론은 명백히 참이기 때문입니다. 폴딩 애플리케이션 먼저 기본 예를 살펴보세요. a = 3, n = 5라고 하면 이 두 숫자는 상대적으로 소수입니다. 5보다 작은 양의 정수 중에서 5와 상대적으로 소수인 수는 1, 2, 3, 4이므로 Φ(5)=4입니다(자세한 내용은 [오일러 함수] 참조). 계산: a^{ψ(n)} = 3^4 =81, 81= 80 + 1 Ξ 1(mod 5). 정리 결과와 일치합니다. 이 정리는 거듭제곱의 모듈식 연산을 단순화하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 7^{222}의 한 자리 숫자를 계산하려면 실제로 7^{222}를 10으로 나눈 나머지를 구해야 합니다. 7과 10[[상호소]], Φ(10)=4. 오일러의 정리로부터 우리는 7^4Ξ1(mod 10)을 알고 있습니다. 따라서 7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9(mod 10)입니다.