고등학교 타원 방정식 및 공식의 전체 모음

1. 표준 방정식

고등학교 교과서에서는 평면 데카르트 좌표계의 타원을 설명하기 위해 방정식을 사용합니다. 타원의 표준 방정식에서 "표준"은 원점의 중심을 나타냅니다. 대칭축은 좌표축입니다.

초점이 있는 좌표축에 따라 타원의 표준 방정식은 두 가지가 있습니다.

1) 초점이 X축에 있는 경우 표준 방정식은 다음과 같습니다. ^2/a^2 y ^2/b^2=1 (agt; bgt; 0)

2) 초점이 Y축에 있을 때 표준 방정식은 다음과 같습니다. x^2/b ^2 y^2/a^2=1 (agt; bgt; 0)

여기서 agt; 0. a와 b 중 큰 것이 타원의 장 반축의 길이이고, 짧은 것이 단축의 길이입니다(타원은 두 개의 대칭축을 가지며 대칭축은 타원에 의해 차단됩니다. 두 개의 선분이 있고 그 절반을 타원의 길이라고 합니다. 반축과 반단축 또는 반장축과 반단축) agt;b일 때 초점은 x축에 있습니다. 초점 길이는 2*(a^2-b^2)^0.5이고, 초점 길이는 장축 및 반단축과 동일합니다. 관계: b^2=a^2-c^2, 준선 방정식 x=a^2/c 및 x=-a^2/c

또한: 중심이 원점에 있는 경우, 그러나 X축에서 초점 위치가 명확하지 않거나 Y축, 방정식은 mx^2 ny^2=1 (m>0, n>0, m≠n)로 설정할 수 있습니다. 이것이 표준방정식의 통일된 형태이다.

타원의 면적은 πab입니다. 타원은 특정 방향으로 원이 늘어나는 것으로 간주할 수 있습니다. 해당 매개변수 방정식은 다음과 같습니다. x=acosθ, y=bsinθ

x0 및 y0 점에서 표준 타원의 접선은 다음과 같습니다. xx0/a^ 2 yy0/b^2=1

2. 공식

타원의 면적 공식

S=π(pi)×a× b(여기서 a, b는 각각 타원의 장축과 단축입니다).

또는 S=π(pi)×A×B/4(여기서 A와 B는 타원의 장축과 단축입니다) 길이).

타원의 둘레 공식

타원의 원주 공식은 없으며, 적분 공식 또는 무한 항 확장 공식이 있습니다.

타원 둘레(L)를 정확하게 계산하려면 적분이나 무한 급수의 합을 사용해야 합니다.

예를 들어

L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≒2π√((a^2 b^2)/2) [ 타원 대략적인 둘레], 여기서 a는 타원의 장반경이고 e는 이심률입니다.

타원의 이심률은 타원 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 거리로 정의됩니다. 점에서 초점에 해당하는 준선까지의 거리 비율은 타원 위의 점 P에서 특정 초점까지의 거리를 PF, 해당 준선까지의 거리를 PL이라고 가정할 때

e=PF/PL

타원의 준선 방정식

x=±a^2/C

타원의 이심률 공식

e=c/a

타원의 초점 거리: 타원의 초점과 해당 준선(예: 초점 (c, 0)과 준선 x = a^ 사이의 거리) 2/C), 값 = b^2/c

타원 초점 반경 공식 | PF1 |=a ex0 |PF2|=a-ex0

타원이 통과하는 반경 오른쪽 초점 r=a-ex

왼쪽 초점을 통과하는 반경 r=a ex

타원의 경로: 초점 수직을 통과하는 직선 사이의 거리 x축(또는 y축)과 타원의 두 초점 A와 B에 대한 값 = 2b^2/a

점과 타원 위치 관계 점 M(x0, y0) 타원 x ^2/a^2 y^2/b^2=1

원 안의 점: x0^2/a^2 y0^2/ b^2<1

점이 원 위에 있습니다: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1

점이 원 밖에 있습니다: x0^2/a ^2 y0^2/b^ 2>1

직선과 타원의 위치관계

y=kx m ①

x^2/a^2 y ^2/b^2 =1 ②

1②로부터 x^2/a^2 (kx m) ^2/b^2=1

접선 △= 0

거리 △<0 교차점 없음

교차점 △>0 현 길이 공식을 사용할 수 있습니다: A(x1, y1) B(x2, y2)

| AB|=d = √(1 k^2)|x1-x2| = √(1 k^2)[(x1 x2)^2 - 4x1x2] = √(1 1/k^2)|y1- y2| = √(1 1/k^2)[(y1 y2)^2 - 4y1y2]

타원 경로(정의: 원추형 섹션(원 제외)에서 초점을 통과하고 축에 수직입니다. 문자열) 공식: 2b^2/a