푸리에 변환이란 무엇인가요?
중국어 번역
Transformée de Fourier에는 많은 중국어 번역이 있으며, 일반적인 번역은 "푸리에 변환", "푸리에 변환", "푸리에 변환", "푸리에 변환" 변환"입니다. "푸리에 변환" 등 편의상 이 글에서는 이를 "푸리에 변환"이라고 부르겠습니다.
응용
푸리에 변환은 물리학, 정수론, 조합 수학, 신호 처리, 확률 이론, 통계, 암호학, 음향학, 광학, 해양학 및 구조 역학에서 널리 사용됩니다. 다른 분야에서 사용됩니다(예: 신호 처리에서 푸리에 변환의 일반적인 용도는 신호를 진폭 성분과 주파수 성분으로 분해하는 것입니다).
개요
* 푸리에 변환은 특정 조건을 충족하는 함수를 삼각 함수(사인 및/또는 코사인 함수) 또는 적분의 선형 조합으로 표현할 수 있습니다. 연속 푸리에 변환 및 이산 푸리에 변환과 같은 다양한 연구 분야에서 푸리에 변환의 다양한 변형이 있습니다. 처음에 푸리에 분석은 열 과정의 분석 분석을 위한 도구로 제안되었습니다(참조: "Applied Mathematics for Deterministic Problems in Natural Sciences" by Lin Jiaqiao and Siegel, Science Press, Beijing. 원서 제목은 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics) 자연 과학의 결정론적 문제에 적용됨, Macmillan Inc., New York, 1974).
* 푸리에 변환은 조화 분석에 속합니다.
* 푸리에 변환의 역변환은 찾기 쉽고 형태는 순방향 변환과 매우 유사합니다.
* 정현파 기저 함수는 미분 연산의 고유 함수입니다. 선형 미분을 만드는 방정식의 해는 상수 계수를 갖는 대수 방정식의 해로 변환될 수 있습니다. 선형 시불변 물리적 시스템에서 주파수는 불변 속성이므로 복잡한 여기에 대한 시스템의 응답은 다음과 같이 결정될 수 있습니다. 다양한 주파수의 정현파 신호에 대한 응답을 결합합니다.
* 컨볼루션 정리는 푸리에 변환이 복잡한 컨볼루션 연산을 간단한 곱셈 연산으로 변환하여 컨볼루션을 계산하는 간단한 수단을 제공할 수 있음을 나타냅니다. >
* 푸리에 변환의 이산형은 디지털 컴퓨터를 사용하여 빠르게 계산할 수 있습니다(이 알고리즘을 FFT(고속 푸리에 변환 알고리즘)라고 함)
기본 속성
선형 속성
두 함수의 합에 대한 푸리에 변환은 해당 변환의 합과 같습니다. 수학적 설명은 다음과 같습니다: 함수 f \left( x\right ) 및 g \left(x \right)의 푸리에 변환 \mathcal[f] 및 \mathcal[g]가 모두 존재하는 경우 α 및 β는 임의의 상수 계수입니다. 그러면 \mathcal[\alpha f \beta g]=\alpha\mathcal[f] \beta\mathcal[g]; 푸리에 변환 연산자 \mathcal은 양의 연산자로 정규화될 수 있습니다.
주파수 이동 속성
함수 f \left( x\right )에 푸리에 변환이 있으면 임의의 실수 Ω0에 대해 함수 f(x) e^{i \omega_ x}도 푸리에 변환이 존재합니다. 그리고 \mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega \omega _0 )가 있습니다.
공식에서 둥근 몸체\mathcal은 푸리에 변환의 동작 연산자이고, 평평한 몸체 F는 변환 결과(복소 함수)를 나타내며, e는 자연 로그의 밑, i는 허수 단위\sqrt입니다.
미분 관계
|x|\rightarrow\infty가 0일 때 함수 f \left( x\right )의 극한이 0이고 그 도함수 f'를 푸리에 변환하면 (x)가 존재하면 \mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)]가 됩니다. 즉, 도함수 함수의 푸리에 변환은 원래 함수의 푸리에 변환과 같습니다. 함수에 인자 6Ω1 iΩ를 곱한 것입니다. 보다 일반적으로 f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0이고 \mathcal[f^{ ( k)}(x)]가 존재하면 \mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f], 즉 k차 도함수의 푸리에 변환입니다. 는 원래 함수와 동일합니다. 함수의 푸리에 변환에 (α6α1iΩ)k 인자를 곱합니다.
컨볼루션 속성
f \left( x\right ) 및 g \left( x\right ) 함수가 모두 (-\infty, \infty)에서 절대적으로 통합 가능한 경우, 그러면 컨벌루션 함수 f*g=\int_{-\infty}^{ \infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi의 푸리에 변환이 존재하고 \mathcal[f*g ]= \mathcal[f]\cdot\mathcal[g] . 컨볼루션 속성의 역 형식은 \mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)]입니다. 두 함수의 곱 의 역 푸리에 변환은 각각의 역 푸리에 변환의 컨볼루션과 같습니다.
Parseval의 정리
함수 f \left( x\right )가 적분 가능하고 정사각형이 적분 가능하면 \int_{-\infty}^{ \infty} f^ 2 ( x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{ \infty} |F(\omega)|^d\omega . 여기서 F(Ω)는 f(x)의 푸리에 변환입니다.
푸리에 변환의 다양한 변형
연속 푸리에 변환
주요 기사: 연속 푸리에 변환
일반적으로 "푸리에"라는 단어가 변환"은 한정자가 앞에 오지 않으며 "연속 푸리에 변환"을 나타냅니다. "연속 푸리에 변환"은 제곱 적분 가능 함수 f(t)를 복소수 지수 함수의 적분 또는 급수 형태로 표현합니다.
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega ) e^{i\omega t}\, d\omega.
위 공식은 실제로 연속 푸리에 변환의 역변환을 나타냅니다. 즉, 시간 영역의 함수 f(t)는 다음과 같습니다. 주파수 영역으로 표현됩니다. 함수 F(Ω)의 적분입니다. 결과적으로, 순방향 변환은 주파수 영역에서 함수 F(Ω)를 시간 영역에서 함수 f(t)의 적분 형태로 나타내기 위해 발생합니다. 일반적으로 함수 f(t)를 원함수(original function)라고 하고, 함수 F(Ω)를 푸리에 변환의 이미지 함수라고 합니다. 원래 함수와 이미지 함수는 푸리에 변환 쌍을 이룹니다.
연속 푸리에 변환을 일반화한 것을 분수 푸리에 변환이라고 합니다.
f(t)가 홀수 함수(또는 짝수 함수)이면 코사인(또는 사인) 성분이 사라지는데 이때의 변환을 코사인 변환(cosine Transform) 또는 사인 변환(Sine Transform)이라고 할 수 있습니다 (사인 변환).
또 다른 주목할만한 속성은 f(t)가 순수 실수 함수인 경우 F(?6?1Ω) = F(Ω)*가 성립한다는 것입니다.