N-S 방정식보다 오일러 방정식을 푸는 것이 더 어렵나요?

1장 쐐기

오일러 방정식을 풀 때 어려운 점은 물리적 불일치뿐 아니라 수학적 분석과 수치 계산의 어려움에도 있습니다. 물리적으로 오일러 방정식은 점성이 없으므로 일관성이 없습니다. 우주에는 이상적인 유체가 없습니다. 이상적인 유체는 단지 근사치일 뿐입니다. 오일러 방정식을 풀어 얻은 해는 물리적 현실과 일치하지 않을 수 있습니다.

제2장 난류

이상적인 유체는 무한한 레이놀즈 수를 갖는 점성 유체로 간주될 수 있습니다. 점성 유체는 N-S 방정식을 따릅니다. 방정식의 레이놀즈 수가 점차 무한대로 증가하면 N-S 방정식은 오일러 방정식을 따릅니다. 아스팔트와 같이 점도가 큰 유체는 난류를 유발하기 어렵습니다. 점도가 감소하면, 즉 레이놀즈 수가 증가하면 상황이 바뀔 수 있습니다. 레이놀즈 수가 특정 임계값으로 증가하면 상황이 근본적으로 바뀔 수 있습니다. 레이놀즈 수가 임계값보다 약간 높으면 유체는 작은 교란에 안정적이지만 특정 범위 내의 진폭을 갖는 교란의 경우 유체는 제한된 진폭의 진동을 형성할 수 있습니다. 위상 공간에서 유체 진동은 링 구조로 표현될 수 있습니다(간단한 진자를 상상해 보세요. 위상 공간에서 진자의 궤적은 링이고 진동하는 유체의 경우에도 마찬가지입니다). 레이놀즈 수가 계속 증가하면 유체는 기존 진동에 더 높은 주파수의 새로운 진동을 형성하고 더 작은 주기의 진동이 더 큰 주기의 진동에 중첩됩니다. 이때 위상 공간에서 유체의 궤적은 다음과 같습니다. 코일이 있는 타이어와 유사합니다.

레이놀즈수가 계속해서 조금씩 증가하면 새로운 진동이 형성될 수 있다. 레이놀즈수가 계속해서 증가하면 더 많은 진동 모드가 발생하게 된다. 위상 공간에서는 위상 점의 운동 궤적이 점점 더 복잡해지고 새로 생성되는 진동의 규모도 점점 작아집니다. 새로운 주파수를 생성하는 데 필요한 레이놀즈 수 사이의 간격은 급격히 감소합니다. 서로 다른 주파수의 진동 주기 비율이 무리수인 경우 위상 공간의 궤적은 닫혀 있지 않습니다. 위상 궤적이 닫히지 않으면 모션의 주기성이 손실됩니다. 위상 궤적의 한 지점에서 시작하여 위상 궤적을 따라 걷다 보면 결코 초기 지점으로 돌아갈 수 없습니다. 흐름은 빠르게 복잡하고 혼란스러워지며 난류를 형성합니다.

세 번째 캐스케이드

레이놀즈 수가 계속해서 조금씩 증가하면 새로운 진동이 형성될 수 있습니다. 레이놀즈 수가 다시 증가하면 더 많은 진동 모드가 생성됩니다. 위상 공간에서는 위상 점의 이동 궤적이 점점 더 복잡해지고 새로 생성되는 진동의 규모도 점점 작아집니다. 즉, 초기에는 흐름 규모가 크고, 시간이 지나면서 큰 규모의 구조물(예: 큰 소용돌이 등)이 작은 규모의 구조물로 찢어지게 됩니다. 예를 들어, K-H 불안정성은 처음에는 깔끔한 대규모 구조를 가지고 있지만 불안정성이 진행됨에 따라 작은 소용돌이가 많이 생성됩니다. 대규모 구조에서 소규모 구조로, 대규모 에너지도 소규모 구조로 전달되고, 에너지는 작은 구조로 분산됩니다. 달리던 기차가 갑자기 무너지듯, 기차 전체의 운동에너지가 각 객차에 분산됩니다. 큰 소용돌이가 부서지고 작은 소용돌이가 형성되어 에너지가 분산됩니다. 대규모 구조물에서 소규모 구조물로 에너지가 단계적으로 전달되는 과정은 캐스케이드 과정입니다. 캐스케이드 과정이 멈추지 않고 소규모 구조물이 지속적으로 생성됩니다. 규모가 충분히 작아져서 소규모 구조물의 에너지가 점성 소산에 대처하기에 충분하지 않을 때까지 소규모 구조물은 점성력의 작용으로 완전히 파괴됩니다. 더 이상 형성되지 않고 캐스케이드 프로세스가 중단됩니다. 유체 에너지는 캐스케이드 과정을 통해 소규모 구조물로 전달되며, 궁극적으로 소규모에서는 점도에 의해 소비됩니다. 즉, 점성유체 난류 다단계 과정은 끝없이 진행되지 않고 점성효과로 인해 중단된다. 이상적인 유체에는 점도가 없으므로 구조가 아무리 작더라도 점도에 의해 소모될 수 없으며 캐스케이드 공정에는 컷오프가 없습니다! 소규모 구조물이 끊임없이 탄생하고 있으며, 그 끝이 없습니다.

4장 변동

유체란 무엇인가요? 유체는 거시적 모델입니다. 모든 사물은 미세한 입자로 구성되어 있습니다. 미세한 입자를 입자로 본다면 모든 사물은 연속적이지 않고 이산적입니다. 거시적 관점에서 볼 때 분자 원자는 보이지 않으며, 그 입자 구조는 눈에 띄지 않습니다. 분자 원자로 구성된 물체만 보입니다. 그러나 유체 모델은 연구 중인 물체가 연속적이라고 가정하는데, 이는 모든 것이 개별 입자로 구성되어 있다는 사실과 분명히 일치하지 않습니다. 따라서 유체 모델은 모든 규모에 보편적으로 적용할 수 없으며 규모가 분자의 평균 자유 경로보다 훨씬 큰 경우에만 적용 가능합니다. 이러한 거시적 규모에서는 에너지, 운동량 등 거시적으로 측정 가능한 물리량은 평균값으로 변동이 존재하지만 인지할 수는 없습니다. 이러한 거시적 규모에서는 고전역학 방법을 사용하여 물체의 운동을 연구할 수 있으며 유체역학 방정식을 도출할 수 있습니다. 지난번에 언급했듯이 이상적인 유체에는 점도가 없으므로 구조가 아무리 작아도 점성에 의해 소모될 수 없으며 캐스케이드 과정은 끝이 없습니다. 소규모 구조물이 끊임없이 탄생하고 있으며, 그 끝이 없습니다. 여기서 질문이 생깁니다. 규모가 분자의 평균 자유 경로보다 작으면 어떻게 될까요? 이처럼 거대하고 작은 규모에서는 분자의 입상 구조와 충돌이 명확하게 인식되고 변동이 뚜렷합니다.

거시적 유체역학 방정식은 더 이상 적용되지 않습니다! 오일러 방정식은 점성이 없고 따라서 일관성이 없습니다. 비가시성은 물리적인 사실이 아닙니다. 소규모 프로세스를 처리하는 방법은 무엇입니까? 유체역학이 아닌 운동이론을 생각해 보세요.

5장: 무한대

이상적인 유체는 무점성이므로 아무리 작은 구조라도 점도에 의해 소모될 수 없으며 캐스케이드 공정에는 컷오프가 없습니다. 소규모 구조물이 끊임없이 탄생하고 있으며, 그 끝이 없습니다. 고전 미적분학은 연속 함수를 처리할 수 있지만 더 작은 규모에서 더 작은 규모로 복잡한 구조를 중첩하는 데 어려움이 있습니다. 이 구조는 마치 마트료시카 인형처럼 무한히 중첩된 마트료시카 인형과 같습니다.

6장 계산

차이 방정식을 얻기 위해 오일러 방정식을 사용합니다. 얻은 차이 방정식에는 점도가 포함되어 있지 않습니다. 그러나 실제로 수치 계산 형식에는 수치적 고착성이 내재되어 있습니다. 예를 들어 충격파는 이론적으로 평면이며 평면에는 볼륨이 없습니다. 수치계산 좌표 격자에서 충격파는 당연히 한 부피를 차지해야 하며, 충격파가 작더라도 한 줄의 격자를 차지해야 합니다. 수치 계산에서 충격파는 이상적인 평면이 아니라 일부 그리드이며 충격파에는 두께가 있습니다. 이는 해석이론의 점도로 인해 충격파가 두꺼워지는 것과 동일합니다. 이산성으로 인한 점도와 동등한 이 효과는 수치 점도입니다. 그러므로 엄밀히 말하면 수치계산은 이상적인 유체가 아니라 점성유체라고 할 수 있다. 수치 계산에서는 점도가 매우 중요합니다. 점도가 없으면 수치 계산 결과가 불안정해질 수 있습니다. 실제로 오일러 방정식은 수치적으로 풀 수 없지만 레이놀즈 수가 큰 점성 유체만이 이상적인 유체에 근접할 수 있습니다.